五点共圆

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五点共圆(或称五圆定理)可以从以下两个方面来理解。

  • 五个顺次相交的圆,其圆心和一个交点位于第六个圆上,将另一个交点两两连接并延长和圆相接,可以构成五角星(不一定是正五角星)。
  • 任意画一个五角星(不一定是正五角星),再作出这个五角星的五个角上的三角形的外接圆,这五个圆除了在五角星上的那五个交点外,在五角星外面还有另五个交点。不管五角星是什么样,后五个交点一定在同一个圆上。这就是五圆定理。

前奏

2000年10月18日晚上。

  • 江泽民:您好!您是张景中教授吗?
  • 张景中:是的,我是,
  • 江:我是江泽民。
  • 张:您好,江总书记!
  • 江:院士科普丛书里有本《计算机怎样解几何题》,是您写的吧?
  • 张:是我写的。我很高兴您给丛书写了序言呢。
就这样,总书记从为《院士科普书系》作序谈起,说到书系中由张景中院士撰写的《计算机怎样解几何题》一书,又谈到张院士的经历和现在所从事的智能教育软件的研究开发工作。总书记对各个问题均表示了极大的关心。
接着,两人又在电话里一起研讨计算机解几何题的有关问题。总书记对机器定理证明所表示出的浓厚兴趣和他在几何方面的造诣,给张院士留下深刻的印象。
  • 江:你那本《计算机怎样解几何题》,因为我写的序,我这里也有。有时间看看,也是一种很好的休息。我也是一个几何爱好者呢。我教过几何,不过是职业学校的,不是普通中学。那本书里有些我不明白的想请教你。
  • 张:谢谢您看我的书。什么问题呢?
  • 江:书里有这么个问题,关于一个一般的五角星的问题,不是我们国旗上的那种正五角星,是一般的,五个角大小不一定相同的五角星。五个角,是五个三角形。在每个三角形上作一个圆,外接圆,一共是五个圆。相邻的两个圆本来有一个交点,还会有一个新的交点。
这五个新的交点共圆。你的书上说用计算机解决了这个题。计算机得到的信息数目,每种信息都有两个数字,一个较小,后面括弧里还有一个比较大的数,是什么意思?
  • 张:较小的是压缩了的信息数目,括弧里较大的数是展开了的信息数目。比如五点共圆,这是一条压缩了的信息。因为几何里通常讲的是四点共圆,一条五点共圆信息,包含了五条四点共圆信息,展开了就成为五条了。又如三条线段长度相等。a=b=c,是一条信息。展开了写成a=b、b=c和a=c,就是三条了。
  • 江:这个题目,要证明五个共点圆,不用计算机,人也能证明吧?
  • 张:能证。用几何课本上的知识也能。只要证明其中四点共圆就可以了。
  • 江:对的。因为三个点就能确定一个圆。我和陈省身,还有别的几位数学家谈到过这个题目。他们也说能证。你知道怎么证吗?
  • 张:我想能证。我以前给数学奥林匹克选手讲过。可以回忆起。
  • 江:你能不能写个证明给我看?我在休息时喜欢想点几何问题,这是一种很好的休息。你估计多久能写给我?
  • 张:我想明天下午5点前能写好。因为上午约好了的有个采访。
  • 江:好,你不用搞得很工整,普通的手写就行。
  • 张:那好,我就用手写,不打印了。
  • 江:谢谢,再见。
  • 张:也谢谢您,再见。

10月19日,张景中院士将他为“五点共圆定理”所做的一个证明,连同他写给江总书记的一封短信,交给有关部门,请他们转交给江总书记。

后续

  • 2000年12月20日,在澳门出席澳门特别行政区成立一周年庆祝活动的国家主席江泽民,来到濠江中学。他即兴给同学们出了一道几何题:证明一个任意五角星的五个外接圆的相交点,都在同一个圆形上。江主席还亲自画图并写下题目。
  • 2000年12月31日,江泽民将答案刊登在报纸上。

证明方法

  • 问题:在任意五角星AJEIDHCGBF中,△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。
  • 求证:K、O、N、M、L五点共圆(见右图)。
证明图

证明:

  • 连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA
  • ∵∠ACN+∠AIN=∠NHD+∠AIN=∠NID+∠AIN=180°
  • ∴A、I、N、C四点共圆
  • 同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆
  • ∴∠GMN=∠GCN=∠ACN=180°-∠AKN又∠LMG=180°- ∠LFG=∠LFA=∠LKA
  • ∴∠LMN=∠LMG+∠GMN=∠LKA+(180°-∠AKN)
  • ∴∠LMN+∠LKN=∠LKA+(180°-∠AKN)+∠LKN=180°
  • 故K、L、M、N四点共圆
  • 同理可证O、L、M、N四点共圆
  • ∴K、O、N、M、L五点共圆证毕

提示:此题也可以运用密格尔(A.Miquel)定理证明。密格尔定理:已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点,构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,那么,这四个三角形的外接圆共点。

注释